ESTUDIO DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN ¿CON LA DERIVADA?

 

 

Si preguntáramos a un estudiante de bachillerato por el crecimiento de una función f(x) nos diría que el crecimiento se estudia con la derivada. Cierto, si f'(x) > 0 en un entorno de un punto, entonces la función f(x) es creciente en ese punto.

 

Imaginemos que queremos estudiar el crecimiento del PIB de un país a lo largo de los años. Si en un año el PIB aumenta en un millón de dólares, no es lo mismo que aumente de uno a dos que de 900000 a 900001, en el primer caso el aumento fue mucho más considerable, en un año el país duplicó su PIB. Y sin embargo la derivada podría dar el mismo resultado en los dos casos: 

Δ(PIB)/Δt = 1.

 

Esta consideración puede ser conveniente al estudiar una gráfica del PIB en el tiempo ya que el valor del dinero cambia mucho a lo largo de los años. La derivada da el aumento del PIB respecto del tiempo, pero aquí lo que nos interesa es la variación respecto del incremento de tiempo y respecto de su valor:

 

Δ(PIB)/(PIB · Δt)

 

lo que nos lleva a pensar en PIB'/PIB, es decir, si habláramos de una función f, sería f'/f.

 

Estudiando el valor de un capital a lo largo de los años, nos hemos preguntado que si en un momento vale C₀ y tras diversas inversiones al cabo de unos años vale C₁ esa variación nos la daría un cierto TAE. Calculémoslo.

 

Capital inicial	Capital final	i = TAE en Δt años, t1-t0
C(t0)	C(t1)	C(t1) = C(t0) · (1+i)Δt

 

 

Operando en esta última expresión vamos a despejar i,

C(t₁)=C(t₀)·(1+i)^Δt ;  C(t₁)/C(t₀)=(1+i)^Δt ; 

y al tomar logaritmos,

Δ(log(C))=Δt · log(1+i);  Δ(log(C)) / Δt = log(1+i);

y tomando los dos miembros como exponentes de base e, resulta:

e^{( Δ(log(C)) / Δt )} = 1+i;

Como la derivada del logaritmo de C es C'/C se concluye que

i = e^(C'/C) - 1

 

 i es el interés en la unidad de tiempo tomada, cuando la unidad son los años i es la TAE (tasa anual equivalente).

Observación: si im es el interés mensual, la derivada de C respecto de t en meses es un doceavo de la derivada de C respecto de t en años por tanto sale que im + 1 = (TAE + 1)^1/12

 El capital desde el momento t₀ al t₁ cambia igual que si en ese periodo hubiera estado invertido a un TAE del e^{( Δ(log(C)) / Δt )} -1.

Así, TAE = e^(C'/C) - 1. Se puede hablar de TAE si la unidad en la que se mide el tiempo es el año.

 Llamemos , I(C) a e^(C'/C) .

I(C)-1 nos da la tendencia del TAE del capital en un instante determinado.

 

 I(f)=e^f'/f

 

 

 

Estas son algunas propiedades inmediatas del operador I:

I(f·g)=I(f)·I(g)

I(cte·f)=I(f)

I(e^f)=e^f', es decir, log(I(g))= (log(g))'

Este operador I (o si no su logaritmo f'/f) no es tan conocido para los estudiantes de matemáticas y podría ser interesante su estudio y divulgación. Puede que sí, puede que no, en cualquier caso es un ejemplo de construcción matemática.

 

---

Consolación Ruiz Gil 23 de Julio de 2016

---