Aguja de Buffon

Este problema con su solución está descrito en la wikipedia lo desarrollaremos pensando que se pueda comprender en un segundo de bachillerato. Nos centramos en el caso de agujas de longitud 2 y unas líneas paralelas cuya distancia es también de 2 unidades.

Se lanza un palillo de 2 u de longitud sobre un suelo entarimado cuyas tablas miden 2 u de ancho. Demostrar que la probabilidad de que el palillo cruce alguna de las juntas es 2/п

1 Calculemos la probabilidad de que el palillo cruce alguna de las juntas (suceso c) sabiendo que su centro está a una distancia t de la junta que tiene más cerca (suceso dist t). Hallaremos p(c/dist t)

Estando el centro del palillo a una distancia t de la junta, los casos favorables para cada lugar del centro son los que el extremo cae en la parte señalada en rojo y los casos posibles son toda la semicircunferencia,

2 Calculemos la probabilidad de que el centro del palillo esté a menos de una distancia t de la junta más cercana

los casos favorables son aquellos señalados en rojo, su área es 2t· ancho· número de juntas = 2t· ancho· largo/2 (pues 2 es la distancia entre dos juntas). Por tanto los casos favorables ocupan un área igual a t· ancho· largo

3 Probabilidad de que la mínima distancia del centro del palillo a una junta sea entre (i-1)/n y (i/n) siendo n un número natural y i también número natural pero menor o igual que n

Esta probabilidad es igual a 1/n

4 Probabilidad que el palillo cruce una junta sabiendo que la mínima distancia de su centro a una junta está entre (i-1)/n y (i/n)

Como la distancia del centro a la junta más cercana será mayor que (i-1)/n y menor que i/n pues según el punto 1 esta probabilidad, p(c/ dist entre (i-1)/n y (i/n)) está acotada por los valores de p(c/dist (i-1)/n) y p(c/dist i/n):

5 La probabilidad de que cruce una junta y la mínima distancia del centro a una junta esté entre entre (i-1)/n y (i/n)

Esta probabilidad es el producto de la condicionada, calculada en el punto 4 y la probabilicad calculada en el punto 3, luego está comprendida entre

Por último la probabilidad de que el palillo cruce alguna junta es igual a las suma de estas probabilidades cuando i varía de 1 a n, pues el centro estará en alguna de las franjas, así pues estará comprendida entre

Se ha hecho una simulación del experimento para ver cuanto se tarda en alcanzar ese valor de 2/pi
y después de realizar 20000 tiradas se ha obternido para la inversa de la probabilidad de cruzar una junta multiplicada por 2 un valor igual a 3,15 que aún dista de pi una centésima

Y la imagen muestra los resultados obtenidos después de más de 1000 millones de tiradas,

Comparación del error en la aproximación de pi por las agujas de Buffón con 1/raíz(n)

En una escena de Descartes se simula el experimento de la aguja de Buffon, cada vez que se presiona el triángulo azul o el rojo se realizan 100 mil tiradas. Se van dibujando en marrón los puntos (n, error/(1/raíz(n)) es decir, (n, (pi-2n/c)·raíz(n))

Con ella se ha realizado un experimento de 3500 millones de tiradas, la captura del resultado final ha sido

Sucesivos videos del experimento