MEDIA VARIANZA COVARIANZA REGRESIÓN LINEAL

Una visión geométrica de estos conceptos, interpretaremos los n valores de una variable x como un vector en  \R ^{n}  y   \overline{x}  es la media de los valores x_i ponderada por los pesos w_i.

 

MEDIA PONDERADA Y SU DESVIACIÓN TÍPICA

La media de x viene definida en la siguiente figura: la proyección de x en la recta <(1, 1, ... , 1)> es igual a    \overline{x}  · (1, 1, ... ,1)

Definición de media

Y al aplicar la métrica:

La recta <(1, 1, ... 1)> es la recta de "todos igual", la media viene definida por el pie de la perpendicular desde x a esta recta, es decir, por el punto de la recta "todos igual" que comete menor error respecto de x. 

En el triángulo rectángulo vemos que la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media es igual al cuadrado de la desviación típica.

 

Estas definiciones sirven también para ponderaciones. La métrica tomada es la definida por la matriz cuya diagonal son los pesos y el resto de términos cero.

 

 

Recordar este triángulo rectángulo permitirá aplicar la geometría y evitará algunos cálculos algo tediosos.

 

Es fácil ver que estas definiciones coinciden con las fórmulas aritméticas usuales, no hay más que aplicar la métrica W de los pesos, por ejemplo, la proyección de x sobre la recta "todos igual" es igual al producto escalar x · (1, 1, ... ,1) entre el módulo de (1, 1, ... ,1), por tanto si esta proyección se divide entre el módulo de (1, 1, ... ,1) se obtiene la igualdad escrita justo antes de este párrafo, es decir, la fórmula aritmética de la media ponderada. Se ve así justo lo que dice el triángulo sobre la media de x: la proyección de x sobre la recta <(1, 1, ... ,1)> es igual a la fórmula conocida de la media ponderada por el módulo de  (1, 1, ... ,1).

 

Aplicando esta métrica es fácil ver también la igualdad escrita en la hipotenusa del triángulo rectángulo de la derecha.

 

Esta interpretación unifica los conceptos en trabajos con ponderaciones o sin ellas, lo único que se hace al ponderar es modificar la métrica.

 

 

Recta de regresión de dos variables  \left (x_1, \quad x_2,\quad ...\quad x_n\right ) y   \left (y_1, \quad y_2,\quad ...\quad y_n\right )

Consideremos el espacio, como máximo tridimensional, determinado por los vectores x, y, (1, 1, ... 1)   (Ax1+B, Ax2+B, ..., Axn+B)=Ax + B(1, 1, ... 1) luego un punto del plano <x, (1, 1, ... 1)>	La recta de regresión de y/x , ax + b(1, 1, ... 1), es un punto del plano <x, (1, 1, ... 1)> ¿qué punto?   aquel que la distancia a y es mínima, |y-Ax+B(1, 1, ... 1)| mínima, es decir, el pie de la perpendicular desde y a <x, (1, 1, ... 1)> Si desde el pie se trazan las paralelas a x y a (1, 1, ... 1), los puntos de corte con las rectas <(1, 1, ... 1)> y <x> nos dan b(1, 1, ... 1) y a(x1, x2, ... xn)
a\cdot\overline{x}+b=\overline{y}    Basta observar que   y · v = (ax + b(1, 1, ... 1))· v para todo v en la subvariedad <x, (1, 1, ... 1)> ya que tomando en esta igualdad v = (1/n, 1/n, ... 1/n) resulta    \overline{y} = a \overline{x}  + b Como y=ax+b(1, 1, ... 1) + η, siendo η perpendicular al plano <x, (1, 1, ... 1)>  al hacer el producto escalar de y por v resulta y · v = (ax+b(1, 1, ... 1)) · v +  η · v pero  η · v = 0, y · v = (ax+b(1, 1, ... 1)) · v como queríamos ver. η = ax + b(1, 1, ... 1) - y, luego para calcular a y b se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b η · x = 0 η · (1, 1, ... 1) = 0	Y aplicando el método de Cramer:   Resulta a= Cov (x, y) / Var(x)
Los puntos (xi ,  yi) se ajustan a la recta de regresión cuando el vector "y" esté en el plano < x, (1, 1, ... 1)> y esto aunque no ocurra del todo, estará muy cerca de ocurrir cuando el ángulo entre los planos < y, (1, 1, ... 1)> y < x, (1, 1, ... 1)> sea casi cero. Por tanto un coeficiente que determina si hay correlación lineal es el coseno de este ángulo, si este coseno está cerca de 1, la correlación lineal entre x e y es fuerte. Se podría tomar el ángulo entre "y" y el plano < x, (1, 1, ... 1)>, se opta por el ángulo entre planos porque este es obviamente el mismo en valor absoluto se considere y/x o x/y. Advertencia: No confundir el ángulo entre los planos < y, (1, 1, ... 1)> y < x, (1, 1, ... 1)> con el ángulo entre  "y" y el plano < x, (1, 1, ... 1)>
TEOREMA Este coeficiente de correlación de y/z es el mismo para todo "y" moviéndose en < y, (1, 1, ... 1)> y para todo z en < x, (1, 1, ... 1)> . Además si ax+b(1, 1, ... 1) es la recta de regresión de y/x y cz+d(1, 1, ... 1) es la recta de regresión de y/z, estos dos vectores coinciden es decir, ax+b(1, 1, ... 1) =cz+d(1, 1, ... 1). Demostración Es claro, pues el pie de y sobre el plano < x, (1, 1, ... 1)> es el mismo que sobre el plano < z, (1, 1, ... 1)> ya que ambos planos son iguales. Y el ángulo entre < y, (1, 1, ... 1)> y < x, (1, 1, ... 1)> es el mismo que el ángulo entre < y, (1, 1, ... 1)> y < z, (1, 1, ... 1)> Si denotamos por R(x, y) el coeficiente de regresión lineal, R(x, y) = R(Ax+B(1, 1, ... 1), Cy+B(1, 1, ... 1)) para cualesquiera que sean los números reales A, B, C, D. Es decir, R(x, y) es un invariante lineal.

Si designamos por Π_x1 la subvariedad lineal < x, (1, 1, ... 1)> y por Π_y1 la subvariedad lineal < y, (1, 1, ... 1)>, el coeficiente de correlación lineal es el coseno de ambas subvariedades, es decir:

 

  R = \frac{\pi _{x1} \cdot \pi _{y1}}{|\pi _{x1}| \cdot |\pi _{y1}|

 

Realicemos el cálculo: