Curvatura |
||||||||
Obtenemos información sobre la curvatura de un alambre pasando los dedos sobre él. Pertenece al mundo sensorial la idea de que la curvatura de una circunferencia es constante y la curvatura de una recta es cero. Así mismo diríamos que cuanto menor es el radio de una circunferencia, mayor es su curvatura.
¿Cómo
definir esta sensación? ¿Cómo cuantificarla o medirla?.
La siguiente escena nos ayuda a descubrirlo.
|
||||||||
Descartes definió la curvatura de una circunferencia como 1/r, siendo r su radio. Así una recta se considera como una circunferencia de radio infinito, por tanto de curvatura cero.
Ya tenemos una magnitud para medir la curvatura de una circunferencia, pero ¿cómo medir la curvatura de y=f(x) en un punto (x0, f(x0))? LLevemos las curvas al taller para medirla. | ||||||||
Curvatura en el Taller
Por tanto, cuando no sea necesaria mucha precisión, podemos medir la curvatura en un punto. ¿Se conseguirá proceder con más precisión, sin necesidad de construir muchas circunferencias y ver cual se adapta mejor? ¿podrán ayudarnos las matemáticas? Pasemos al laboratorio. |
||||||||
Curvatura en el Laboratorio
Es conocido que para hallar la inclinación de una curva en un punto nos aproximamos a la tangente por las secantes. Podemos copiar esta idea y aproximarnos a una circunferencia con contacto triple en el punto donde queramos medir la curvatura. Así es como se procede en la siguiente escena.
Escogido un punto (x0, f(x0)) de la curva y=f(x), trazaremos la circunferencia que pasa por los puntos de la curva: (x0-h, f(x0-h)) , (x0, f(x0)) y (x0+h, f(x0+h)) (Tres puntos no alineados determinan una circunferencia) y calcularemos el límite, r, de su radio cuando h--->0; la curvatura de y=f(x) en el punto (x0, f(x0)) será 1/r
La
curvatura vista por Newton El
método que se describe en las siguientes escenas fue utilizado por Newton en
el siglo XVII. Dados
dos puntos de una circunferencia, la intersección de sus normales a la
circunferencia es su centro (escena del taller). Así pues, para hallar el
centro de curvatura de y=f(x) en (x0, f(x0)),
se tomará un punto próximo, (x0+h,
f(x0+h)) Hallaremos las normales a la curva en estos
puntos y
su intersección . Cuando h-->0,
esta intersección definirá el centro de la circunferencia
osculatriz en (x0,
f(x0)). (Escena del laboratorio) TALLER DE
MATEMÁTICAS LABORATORIO DE
MATEMÁTICAS Para
ver las fórmulas que determinan el cálculo de la curvatura
de una función y=f(x) en un punto x=xo se utiliza el
cálculo de derivadas
|
La curvatura en la Universidad
Intuitivamente podemos imaginar que la curvatura mide la variación del vector tangente de una curva respecto a la variación de la longitud de arco. Adjuntamos una breve introducción, con esta idea, para lectores avanzados en cálculo diferencial
Curvatura en la Prensa, aplicaciones de la curvatura
La curvatura matemática ha contribuido notablemente al desarrollo de la Física, con importantes aplicaciones en Óptica y en Medicina. El estudio de la curvatura del universo ha sido noticia en la prensa. Los siguientes enlaces son artículos publicados sobre este tema.
|
||||||
Consolación Ruiz Gil | ||
ProyectoDescartes.org y Ciencia. Año 2005 / Adaptación a JS Año 2016 La adaptación incluye la noticia en prensa del descubrimiento de las ondas gravitacionales | ||